二次函數與圓的綜合題型

例題、如圖，二次函數y=ax+bx+c的圖像交x軸于A（-1，0），B（2，0），交y軸于C（0，-2），過A，C畫直線．

（1）求二次函數的解析式；

（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；

（3）點M在二次函數圖 像上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H．

①若M在y軸右側，且△CHM∽△AOC（點C與點A對應），求點M的坐標；

②若⊙M的半徑為4/5√5（5分之4又根號5） ，求點M的坐標．

【解析、分析】

（1）根據與x軸的兩個交點A、B的坐標，設出二次函數交點式解析式y=a（x+1）（x﹣2），然后把點C的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數解析式；

（2）設OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；

（3）①根據相似三角形對應角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分：

（i）點H在點C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CM∥x軸，從而得到點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，是﹣2，代入拋物線解析式計算即可；

（ii）點H在點C上方時，根據（2）的結論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯立求解即可得到點M的坐標；

②在x軸上取一點D，過點D作DE⊥AC于點E，可以證明△AED和△AOC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度，從而得到點D的坐標，再作直線DM∥AC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點M的坐標．

【參考答案】

【考點】兩一次函數圖像相交或平行問題，勾股定理，切線的性質，相似三角形的性質，二次函數與一次函數的綜合應用

定角必有隱圓例題

例、在平面直角坐標系中，拋物線y=x+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點，點A在點B的左側．

（1）如圖1，當k=1時，直接寫出A，B兩點的坐標；

（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）如圖2，拋物線y=x+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點C、D兩點（點C在點D的左側），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時的k值；若不存在，請說明理由．

【解析】【分析】

方法一：（1）當k=1時，聯立拋物線與直線的解析式，解方程求得點A、B的坐標；

（2）如答圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出最大值及點P的坐標；

（3）“存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°”的含義是，以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，由圓周角定理可知，此時∠OQC=90°且點Q為唯一．以此為基礎，構造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一點是考慮直線AB是否與拋物線交于C點，此時亦存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°．

方法二：（1）聯立直線與拋物線方程求出點A，B坐標．（2）利用面積公式求出P點坐標．（3）列出定點O坐標，用參數表示C，Q點坐標，利用黃金法則二求出k的值．

【答案】

【考點】勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，二次函數與一次函數的綜合應用，二次函數的實際應用-動態幾何問題。